非欧几里得几何
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非欧几里得几何是区别于欧氏几何的几何体系，主要包含罗巴切夫斯基几何（双曲几何）和黎曼椭圆几何，其核心差异在于采用不同的平行公理取代欧氏几何第五公设。罗巴切夫斯基几何允许过直线外一点存在至少两条平行线，导致三角形内角和小于180度；黎曼几何则规定同一平面内任意两直线必相交，使得三角形内角和大于180度。克莱因于1871年将三种几何分别定名为双曲几何、抛物几何和椭圆几何。19世纪高斯、罗巴切夫斯基和波尔约独立发现平行公理的独立性，1830年前后罗巴切夫斯基与波尔约发表相关理论。1854年黎曼提出椭圆几何，1868年贝尔特拉米证明非欧几何可局部实现于欧氏空间，1871年克莱因建立非欧几何模型。
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